Tam giác vuông cân là kiến thức quan trọng được làm quen trong chương trình toán lớp 7. Việc nắm chắc kiến thức tam giác vuông cân là gì? Tính chất và cách tính diện tích của tam giác cân sẽ giúp các bạn học sinh áp dụng tốt vào giải bài tập toán hình. Và để tìm hiểu thêm về chủ đề tam giác cân, mời các bạn cùng tham khảo qua bài viết dưới đây.
Contents
Tam giác vuông cân là gì?
Tam giác vuông cân là tam giác có một góc bằng 90 độ và hai cạnh góc vuông có độ dài bằng nhau. Điều này có nghĩa là tam giác có tính chất của cả tam giác vuông và tam giác cân. Tam giác vuông cân là một trường hợp đặc biệt của tam giác vuông, với sự đối xứng và đồng đẳng giữa hai cạnh góc vuông. Nếu tam giác ABC có AB = AC, AB ⊥ AC thì tam giác ABC vuông cân tại A.
Tam giác vuông cân có một góc 90º và hai cạnh vuông góc có độ dài bằng nhau
Tam giác vuông cân có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm trong hình học, kiến trúc, xây dựng, và các lĩnh vực khác. Công thức tính diện tích và chu vi của tam giác vuông cân cũng có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tỷ lệ và tương tự.
Tìm hiểu tam giác vuông cân có tính chất gì?
Tam giác vuông cân có các tính chất như sau:
- Một góc vuông (90º), góc này tạo thành góc vuông và là cơ sở để xác định tính chất và đặc điểm của tam giác.
- Hai cạnh góc vuông bằng nhau, điều này tạo ra sự cân đối và đối xứng trong tam giác.
- Ba cạnh không góc vuông có thể có độ dài khác nhau. Tam giác vuông cân không yêu cầu ba cạnh còn lại phải bằng nhau, chúng có thể có độ dài khác nhau (tùy thuộc vào kích thước và tỉ lệ của tam giác).
- Hai góc nhọn còn lại bằng nhau, đều là góc 45 độ.
- Tổng độ dài hai cạnh góc vuông bằng độ dài cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông).
- Tam giác vuông cân có tính chất đối xứng qua đường chéo đi qua góc vuông và chia tam giác thành hai nửa đối xứng nhau.
Tính chất quan trọng của tam giác vuông cân
Chứng minh tam giác vuông cân
Để chứng minh tam giác vuông cân, chúng ta có thể áp dụng các cách như sau:
- Tam giác có 1 góc vuông, 2 cạnh góc bằng nhau là tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45º
- Tam giác có 2 cạnh bằng nhau và 1 góc đáy bằng 45º
Theo đó, hai tam giác vuông cân luôn đồng dạng khi thỏa mãn những điều kiện sau:
- Đối với hai tam giác bằng nhau: Ba cạnh bằng nhau (đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh)
- Đối với tam giác đều: 3 góc bằng nhau (đồng dạng góc – góc)
- Đối với hai tam giác vuông cân: Đồng dạng cạnh – góc – cạnh. Hai cạnh bên tam giác cân và góc vuông.
Chứng minh hai tam giác vuông cân luôn đồng dạng
Giả sử hai tam giác vuông cân ABC và A’B’C’ với các góc vuông tại A và A’, và các cạnh bên AB=AC và A’B’=A’C’.
Ta sẽ chứng minh các góc của hai tam giác bằng nhau:
- Góc BAC = 90°, góc B’A’C’ = 90° (vì ABC và A’B’C’ là các tam giác vuông)
- Góc BCA = 45° (vì tam giác ABC là tam giác vuông cân), góc B’C’A’ = 45° (vì tam giác A’B’C’ là tam giác vuông cân)
=> Do đó, ta có: góc BAC = góc B’A’C’ và góc BCA = góc B’C’A’
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng tỉ lệ các cạnh của hai tam giác bằng nhau:
- Vì tam giác ABC và A’B’C’ là tam giác vuông cân nên AB = AC và A’B’ = A’C’
- Ta biết rằng góc BCA = 45° và góc B’C’A’ = 45°
- Theo quy tắc cạnh với góc, hai tam giác có cạnh chung và góc giữa các cạnh bằng nhau là đồng dạng.
- Vì AB = AC và A’B’ = A’C’, nên theo quy tắc cạnh – cạnh – cạnh, ta có tỉ lệ cạnh của hai tam giác bằng nhau.
=> Kết hợp hai điều kiện trên, ta kết luận rằng hai tam giác vuông cân ABC và A’B’C’ đồng dạng.
S tam giác vuông cân được tính như thế nào?
Tam giác ABC vuông cân tại A, và có a là độ dài hai cạnh góc vuông. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông để tính S tam giác vuông cân với chiều cao và cạnh đáy bằng nhau, ta có công thức như sau:
SABC= 12a2
Đường cao tam giác vuông cân
Đường cao của tam giác vuông cân là đoạn thẳng từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông cân đến đối diện với nó trên cạnh huyền. Đường cao này là một đường thẳng vuông góc với cạnh đáy của tam giác và chia cạnh đáy thành hai phần bằng nhau.
Công thức để tính đường cao trong tam giác vuông cân
Trong tam giác vuông cân đường cao bằng một nửa cạnh huyền. Theo đó công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông cân như sau:
- a2=b2+c2
- b2=a.b‘ và c2= a.c‘
- ah = bc
- h2=b‘.c‘
- 1h2=1b2+1c2
Trong đó:
- a, b, c: lần lượt là các cạnh của tam giác vuông cân.
- b’: đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền.
- c’: đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền.
- h: chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.
Ví dụ và bài toán liên quan đến tam giác vuông cân
Ví dụ 1: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a2. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc bằng 60º. Tính diện tích của thiết diện hình nón.
Hình vẽ minh họa
Lời giải:
Thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a2. Vì vậy, độ dài cạnh đường cao của hình nón là h=a22=R (bán kính đường tròn đáy tâm O) và độ dài cạnh sin là l = a.
Một thiết diện SAB khác đi qua đỉnh tạo với đáy một góc 60º => Đường cao kẻ từ đỉnh nón của thiết diện là SH = SOsin 60=2a3
Do đó chiều cao của tam giác OAB là:
OH = b2–R2 = 43a2–a2 = a3
=> AB = 2AH = 2R2–OH2 = 2a22–a23 = 2a6
Từ đó ta sẽ tính được thiết diện SAB là:
sSAB= 12SHAB=122a32a6=a223
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân ABC tại A, tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại điểm E và D.
a, Hãy chứng minh rằng BE = CD, AD = AE
b, Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC tại điểm M. Chứng minh tam giác MAB và MAC là tam giác vuông cân.
Hình vẽ minh họa
Lời giải:
a, Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và B = C
Vì BE là tia phân giác của góc B nên ABE=EBC
Và CD là tia phân giác của góc C nên ACD=DCB
B = C nên ABE = ACD
Xét tam giác BEA và tam giác CDA, ta có:
- A chung
- AB = AC
- ABE = ACD
=> Tam giác BEA bằng tam giác CDA (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh).
b, Có BEA = CDE => AEB = ADC
Xét tam giác AID và tam giác AIE ta sẽ có:
- AEB = ADC
- AD = AE
- AI chung
=> Tam giác AID bằng tam giác AIE (Cạnh – góc – cạnh)
=> Từ đó suy ra AMB = AMC (hai góc tương ứng
Lại có, AMB + AMC=180⁰ =>AMB =90⁰
=> Như vậy, tam giác AMB và AMC là hai tam giác vuông cân.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB=3cm, BC=5cm. Vẽ đường cao AH cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
a, Hai tam giác ABC tam giác HBA đồng dạng
b, AB2=BHBC. Tính BH
c, Dựng đường phân giác BD cho tam giác ABC cắt AH tại điểm E. Tính EHEA. tính EH.
Hình vẽ minh họa
Lời giải:
Xét ABC và HAC ta có:
- C chung
- BAC= AHC= 90⁰
=> ABC HAC ( Góc – góc)
=> ACHC=BCAC (Tỉ số đồng dạng)
=> AC2=HC.BC
b, Xét ABC và HBA ta có
- B chung
- BAC =BHA= 90⁰
=> ABCHBA (Góc – góc)
=> ABHB= BCBA (Tỉ số đồng dạng)
=> AB2=HB.BC
c, ABC vuông tại A
=> AB2+AC2 = BC2 (Định lý Pytago)
=> AC2=BC2–AB2=52–32=16
=> AC = 4cm
AD là phân giác của BAC
=> BDDC=ABAC=34
=> BD3=DC4=BD+DC3+4=BC7=57 (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
=> BD3=57=>BD=57.3=1572,143cm
DC4=57=>DC=574=2072,857cm
Vậy BD2,143cm; DC2,857cm
Trên đây là những thông tin về tam giác vuông cân và các kiến thức liên quan mà chúng tôi đã tổng hợp được. Hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn trong việc vận dụng vào bài tập cũng như trong thực tiễn.
Trả lời