Hệ thống kiến thức hai tam giác đồng dạng

Kiến thức về tam giác đồng dạng rất quan trọng mà các bạn học sinh cần nắm vững để làm tốt bài thi học kỳ toán lớp 8, lớp 9. Đây cũng là một dạng bài xuất hiện nhiều trong các bài thi vào lớp 10 môn Toán trong những năm gần đây. Hãy cùng ôn luyện, hệ thống kiến thức về tam giác đồng dạng, cách chứng minh và một số bài tập vận dụng qua  bài viết sau.

Hai tam giác đồng dạng là gì?

Tam giác đồng dạng là kiến thức mà các bạn học sinh cần nắm chắc trong chương trình toán học lớp 8.

Theo sách giáo khoa lớp 8, hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau khi chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng theo tỷ lệ.

Ví dụ: Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đồng dạng với nhau nếu góc A = góc A’; góc B = góc B’; góc C = góc C’ và tỷ lệ A’B’/AB=B’C’/BC=A’C’/AC

Kí hiệu hai tam giác đồng dạng như sau: △ABC∼△A’B’C’

Tỉ số:  A’B’/AB=B’C’/BC=A’C’/AC=k được gọi là tỉ số đồng dạng. 

Các tính chất của tam giác đồng dạng

Nắm vững tính chất tam giác đồng dạng sẽ giúp các bạn học sinh vận dụng linh hoạt để làm các dạng bài về tỷ lệ, chứng minh trong hình học. 

• Tính chất 1. Mỗi tam giác sẽ luôn đồng dạng với chính nó. Tức là, tam giác ABC luôn đồng dạng với tam giác ABC. 
• Tính chất 2. Nếu  ∆ABC ~ A’B’C’  thì A’B’C’ ~ ∆ ABC. Phát biểu thành lời như sau: nếu ta có hai tam giác đồng dạng, chẳng hạn như tam giác ABC và tam giác A’B’C’, thì tam giác A’B’C’ cũng đồng dạng với tam giác ABC. Điều này cho phép ta áp dụng các tính chất của đồng dạng từ một tam giác sang một tam giác khác.
• Tính chất 3: Nếu  ∆A’B’C’ ~ ∆ A”B”C” và ∆A”B”C ~ ∆ ABC thì ∆A’B’C’ ~ ∆ ABC. Nếu ta có một chuỗi tam giác đồng dạng nhau, thì tam giác cuối cùng cũng đồng dạng với tam giác đầu tiên.

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

Hai tam giác được coi là đồng dạng khi chúng thỏa mãn 1 trong những điều kiện dưới đây: 

2 tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh

Định lý: Nếu ba cạnh tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia thì hai tam giác đó sẽ đồng dạng với nhau. 

Ví dụ: Tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là 6,8,10 và tam giác A’B’C’ có 3 cạnh là 3,4,5. Ta thấy 2 tam giác này có tỉ lệ 6/3=8/4=10/5 cho nên tam giác ABC và tam giác A’B’C’ là 2 tam giác đồng dạng

Trường hợp 2 (cạnh – góc – cạnh)

Định lý:  Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: Tam giác MNP có MN = 3cm, NP = 4cm và góc MNP = 60 độ. Tam giác M’N’P’ có M’N’ = 6cm, N’P’ = 8cm và góc M’N’P’ = 60 độ thì 2 tam giác này đồng dạng với nhau

Trường hợp 3 (góc – góc – góc)

Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Ví dụ: Tam giác DEF có góc DEF = 40 độ, EDF = 50 độ và tam giác D’E’F’ có góc D’E’F’ = 40 độ, E’D’F’ = 50 độ thì 2 tam giác này được coi là đồng dạng.

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hai tam giác vuông được coi là đồng dạng với nhau nếu thỏa mãn một trong những điều kiện như sau: 

• Một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia.
• Hai cặp cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cặp cạnh góc vuông của tam giác vuông kia..

Các định lý đồng dạng của hai tam giác vuông 

Với tam giác vuông, ta có các định lý đồng dạng như sau.

Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó sẽ đồng dạng với nhau.

Định lí 2: Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này có tỷ lệ tương tự với hai cạnh góc vuông của tam giác kia, thì hai tam giác vuông đó được xem là đồng dạng với nhau.

Định lí 3: Góc của hai tam giác vuông

Nếu một trong hai góc nhọn của tam giác này bằng một trong hai góc nhọn của tam giác kia, thì hai tam giác vuông đó được xem là đồng dạng với nhau.

Cách chứng minh 2 tam giác đồng dạng

Tùy thuộc vào thông tin, dữ kiện đã cho trong bài toàn, các bạn có thể chứng minh tam giác đồng dạng theo các cách như sau.

Cách 1: Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh

• Bước 1: Xác định các cạnh của hai tam giác.
• Bước 2: So sánh tỉ số độ dài các cạnh tương ứng. Nếu ba tỉ số này bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và DEF, với AB/DE = BC/EF = CA/FD, bạn có thể kết luận rằng hai tam giác đồng dạng.

Cách 2: Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc- cạnh 

• Bước 1: Xác định các cạnh và một góc của hai tam giác.
• Bước 2: So sánh tỉ số độ dài các cạnh tương ứng và góc giữa chúng. Nếu tỉ số các cạnh bằng nhau và góc giữa chúng cũng bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ: Nếu AB/DE = AC/DF và góc A = góc D, thì tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.

Cách 3: Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo góc – góc 

• Bước 1: Xác định ba góc của hai tam giác.
• Bước 2: So sánh các góc tương ứng. Nếu ba góc này bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ: Nếu góc A = góc D, góc B = góc E, và góc C = góc F, thì tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.

Cách 4: Phương pháp định lý Talet

Nếu có hai tam giác vuông và biết rằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này có tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia, thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác ABC có tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác DEF, thì hai tam giác đồng dạng.

Vận dụng tam giác đồng dạng vào giải toán

Kiến thức về tam giác đồng dạng sẽ giúp các bạn học sinh có thể vận dụng linh hoạt để giải một số dạng bài như sau:

• Chứng minh hai góc bằng nhau. 
• Tính được độ dài các đoạn thẳng
• Chứng minh các đẳng thức trong hình học
• Chứng minh tích các đoạn thẳng không đổi. 
• Tính chu vi, diện tích của tam giác
• Các dạng bài liên quan khác. 

Một số lưu ý khi làm bài về tam giác đồng dạng

Khi làm bài về tam giác đồng dạng, một số sai sót có thể dẫn đến nguyên nhân việc giải sai bài tập mà các bạn học sinh cũng cần ghi nhớ như sau: 

• Xác định không đúng các đỉnh tương ứng, các góc tương ứng, các cạnh tương ứng. 
• Ghi ký hiệu tam giác đồng dạng không đúng thứ tự các đỉnh tương ứng. Dẫn đến việc lập sai các hệ thức tỷ lệ giữa các cạnh, xác định sai các cặp góc bằng nhau. 

Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng

Kiến thức về tam giác đồng dạng không chỉ dùng để giải các bài tập mà còn được ứng dụng để phục vụ cho việc đo đạc, tính toán trong cuộc sống. 

Điển hình như: Tính chiều cao của một vật (gián tiếp) hoặc xác định khoảng cách giữa hai địa điểm, 

Bài tập ôn luyện tam giác đồng dạng

Dưới đây là một số bài tập ôn luyện về tam giác đồng dạng mà các bạn học sinh có thể tham khảo thêm: 

Bài tập 1: 

Cho ∆ABC (biết độ dài cạnh AB < AC), có đoạn thẳng AD là tia phân giác trong của tam giác. Tại góc ngoài ∆ABC, ta có góc BCx = góc BAD vẽ tia Cx sao cho . Gọi điểm I là giao điểm của đường thẳng Cx và đường thẳng đi qua 2 điểm A, D. Chứng minh rằng:

1. a) Chứng minh 2 tam giác: ∆ADB đồng dạng ∆CDI.
2. b) Chứng minh rằng: AD/AC = AB/AI
3. c) Chứng minh rằng AD² = AB*AC – BD*DC

Cách giải: 

1. a) Xét 2 tam giác ∆ADB và ∆CDI , ta có:

• Góc BCx = góc BAD (theo giả thiết)
• Góc D1 = Góc D2 (2 góc đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

1. b) Xét 2 tam giác ∆ABD và ∆AIC, ta có: 

• Góc B = Góc I (Vì ∆ADB đồng dạng với tam giác ∆CDI)
• Góc A1 = góc A2 (tia AD là phân giác)

=> Ta có: ∆ABD ~ ∆AIC => Vậy tỉ số AD/AC = AB/AI

1. c) Từ kết quả của câu b ta có: AD*AI = AB*AC (1)

Ta có: ∆ADB ~ ∆CDI => ta có AD*DI = BD*CD (2)

Từ hệ quả (1) và (2) : AB*AC – BD*CD = AD*AI – AD*DI = AD*(AI – DI ) = AD*AD = AD²

Vậy AD² = AB*AC – BD*CD

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ, có đường cao AH. Hãy chứng minh các hệ thức sau: 

1. Chứng minh rằng  AB² = BH*BC và AC² = CH*BC
2. Chứng minh rằng AB² +AC² = BC²
3. Chứng minh rằng AH²= BH*CH
4. Chứng minh rằng AH*BC = AB*AC

a.Xét hai tam giác ∆ABC và ∆ HAC, ta có:

Góc BAC = góc AHC = 90 độ

Góc C là góc chung

=> Vậy tam giác ∆ABC ~ ∆HAC (theo định lý g – g trong tam giác vuông)

Vậy AC/HC = BC/AC

=> AC2 = CH.BC (1)

Chứng minh theo phương pháp tương tự ta có : AB² = BH*BC (2)

1. Từ (1) và (2) ta vừa chứng minh ở trên ta có, ta có :

AB² +AC² = BH*BC + CH*BC = (BH + CH)*BC = BC²

1. Xét hai 2 tam giác ∆HBA và ∆HAC, ta có :

Góc BHC = góc AHC = 90 độ

Góc ABH = góc HAC cùng phụ góc BAH

=> Vậy ta có thể kết luận ∆HBA ~ ∆HAC (theo tính chất g – g trong tam giác vuông)

=> HA/HC = HB/HA

Vậy suy ra: AH² = BH*CH

1. Ta có do ∆ABC ~ ∆HAC

=> HA/AB = AC/BC

Vậy suy ra: HA*BC = AB*AC

Bài tập 3: Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Yêu cầu:

1. a) Chứng minh rằng ∆HBE đồng dạng ∆HCE.
2. b) Chứng minh rằng ∆HED đồng dạng ∆HBC và góc HDE = góc HAE
3. c) Biết rằng BD = CD. Gọi điểm M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng: DE vuông góc EM.
4. a) Xét 2 ∆HBE và ∆HCD ta có :

Góc BEH = góc CDG = 90 độ (Theo giả thuyết)

Góc H1 = góc H2 (đối đỉnh)

Suy ra ta có ∆HBE ~ ∆HCD (theo tính chất g – g)

1. b) ∆HED và ∆HBC, ta có :

HE/HD = HB/HC (do ∆HBE ~ ∆HCD)

=> HE/HB = HD/HC

Mà ta có góc EHD = góc CHB (2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác ∆HED ~ ∆HBC (do tính chất c – g – c)

=> Góc D1 = góc C1 (1)

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (theo giả thuyết)

=> Điểm H là điểm trực tâm. => AH vuông góc BC tại M.

=> góc A1 + góc ABC = 90 độ.

mặt khác ta có:

góc C1 + góc ABC = 90 độ (2)

=> Từ dữ kiện (1) và (2) ta có: góc A1 = D1

hay: góc HDE = góc HAE

1. c) Chứng minh tương tự câu b, ta có: góc A2 = E2 (3)

xét ∆BCD, ta có : DB = DC (theo giả thuyết)

=> ∆BCD là tam giác cân tại D => góc B1 = góc ACB

mà: góc B1 = góc E1 (do ∆HED ~ ∆HBC)

=> Góc E1 = góc ACB

mà: góc A2 + góc ACB = 90 độ

Góc A2 = góc E2 (chứng minh trên)

=> Góc E1 + góc E2 = 90 độ

hay góc DEM = 90 độ

=> ED vuông góc với EM.

Trên đây là hệ thống kiến thức về tam giác đồng dạng mà các bạn học sinh cần ghi nhớ để việc vận dụng linh hoạt trong các bài toán chứng minh tỷ lệ hình học nhanh chóng.