Định lý Pytago là phần kiến thức mà chúng ta từng được học trong chương trình Toán lớp 7. Hôm nay, thietbiruaxegiare.com sẽ cùng các bạn đi tìm hiểu định lý Pytago là gì, và tổng hợp lại những công thức, bài tập áp dụng công thức định lý này. Mời các bạn cùng theo dõi!
Contents
Định lý Pytago là gì?
Để hiểu rõ hơn về định lý này, chúng ta cùng đi tìm hiểu một chút về nguồn gốc định lý Pytago.
Được biết, từ thời cổ đại trước khi có định lý Pytago con người đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các cạnh trong cùng một tam giác vuông. Tuy nhiên, cho đến thời kỳ của nhà toán học Pytago, tức vào thời Hy lạp cổ đại thì định lý này mới bắt đầu được chứng minh và áp dụng phổ biến trong toán học.
Định lý này không những ứng dụng trong hình học đơn giản mà nó còn là tiền đề, ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực toán học khác như tích phân, vi phân hay hình học không gian,… Do đó định lý Pitago được phát hiện và được coi như một thành tựu lớn thúc đẩy sự phát triển của nền toán học.
Định lý Pytago ứng dụng với tam giác vuông
Định lý Pytago có thể áp dụng cho việc tính được độ dài các cạnh trong tam giác vuông, và là liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa 3 cạnh trong cùng tam giác vuông.
Theo đó định lý Pytago thuận được phát biểu rằng: Trong một tam giác vuông bất kỳ, bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) luôn bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Định lý Pytago đảo là gì?
Định lý Pytago đảo hay còn gọi là điều ngược lại của định lý Pytago cũng đúng. Theo đó định lý Pytago đảo được phát biểu rằng: Một tam giác bất kỳ mà có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó chính là tam giác vuông.
Từ đó chúng ta có thể sử dụng định lý Pytago đảo để kiểm tra được một tam giác đã cho là tam giác nhọn, vuông hay tam giác tù.
Định lý Pytago đảo giúp xác định tam giác đó là tam giác vuông, nhọn hay tù
Ví dụ: Đối với tam giác có 3 cạnh lần lượt là a,b,c và c là cạnh dài nhất thì:
Nếu c2 < a2 + b2 thì tam giác đó là tam giác nhọn, tức góc đối diện cạnh c là một góc nhọn.
Nếu c2 = a2 + b2 thì tam giác đó là tam giác vuông, tức góc đối diện với cạnh c là góc vuông.
Nếu c2 > a2 + b2 thì tam giác đó là tam giác tù, tức góc đối diện của cạnh c là một góc tù.
Chứng minh định lý Pytago
Chúng ta có thể chứng minh định lý Pytago bằng phương pháp đại số.
Ví dụ: Sử dụng các giác trị a, b và c như trong hình dưới đây, rồi làm theo các bước như sau:
Có thể chứng minh định lý Pytago thông qua tam giác đồng dạng
Bước 1: Sắp xếp lần lượt 4 tam giác vuông bằng nhau trong hình vuông PQRS đã cho, có cạnh là a+b. Bốn tam giác vuông này có b là đáy, a là chiều cao và c là cạnh huyền.
Bước 2: 4 hình tam giác tạo thành hình vuông bên trong WXYZ có c là cạnh.
Bước 3: Diện tích hình vuông WXYZ là c2.
Bước 4: Diện tích hình vuông lớn PQRS có cạnh a+b bằng diện tích 4 hình tam giác + diện tích hình vuông WXYZ.
=> a2+b2+2ab = 2ab + c2
=> a2 + b2 = c2
Từ đó chúng ta chứng minh được công thức Định lý Pytago thông qua tam giác đồng dạng.
(Hai tam giác được coi đồng dạng khi các góc tương ứng của chúng có số đo bằng nhau và các cạnh tương ứng cũng có cùng tỉ số. Ngoài ra, nếu như các góc có cùng số đo với nhau thì ta có thể nói rằng các cạnh tương ứng cũng có cùng tỷ lệ thông qua việc sử dụng định luật sin).
Ứng dụng thực tế của định lý Pytago
Cho tới nay, định lý Pytago đã trở nên vô cùng hữu ích, ứng dụng cả trong các công trình thực tế. Cụ thể, ứng dụng của Pytago có thể kể đến như:
Định lý Pytago trong kiến trúc và xây dựng
Cho hai đường thẳng, định lý Pytago có thể tính được độ dài đường chéo nối giữa chúng. Đây là một ứng dụng vô cùng phổ biến trong kiến trúc, chế biến gỗ hay trong các dự án xây dựng vật lý khác.
Chẳng hạn như bạn đang cần xây dựng một mái nhà có độ dốc. Nếu như biết được chiều cao và chiều dài mái nhà, bạn có thể sử dụng Định lý Pytago để tìm ra được độ dài đường chéo của mái dốc. Từ đó có thể cắt dầm có kích thước phù hợp đỡ mái nhà hoặc tính được diện tích mái nhà bạn cần lợp.
Định lý Pytago trong bố trí góc vuông
Trong việc xây dựng, để đảm bảo các toà nhà vuông vắn, người ta cũng sử dụng định lý Pytago để giải quyết vấn đề này.
Khi làm móng hoặc xây dựng góc vuông giữa hai bức tường người thợ sẽ giăng một hình tam giác từ 3 sợi dây tương ứng. Nếu như độ dài sợi dây được đo chính xác (bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) thì góc đối diện cạnh lớn nhất là góc vuông.
Người thợ lúc này sẽ biết được họ có đang cây tường hay móng của mình theo đúng đường thẳng hay không.
Định lý Pytago được ứng dụng trong việc xây dựng các tòa nhà
Định lý Pytago trong dẫn đường
Việc điều hướng hai chiều cũng sử dụng định lý Pytago. Có thể sử dụng định lý tính được khoảng cách ngắn nhất. Ví dụ như bạn đang ở trên biển và cần điều hướng đến một điểm cách 300 dặm về phía Bắc, 400 dặm về phía Tây.
Bạn có thể sử dụng định lý Pytago tìm khoảng cách từ tàu đến điểm đó và tính xem bạn đang cần đi theo hướng một góc bao nhiêu độ. Khoảng cách về phía Bắc và phía Tây tạo thành một tam giác và đoạn đường ngắn nhất chính là đường cao của tam giác vuông đó.
Các nguyên tắc tương tự cũng có thể sử dụng cho việc điều hướng hàng không. Chẳng hạn như một chiếc máy bay có thể sử dụng được độ cao so với mặt đất và khoảng cách từ sân bay tới đích để tìm được vị trí chính xác, từ đó bắt đầu hạ độ cao xuống sân bay đó.
Định lý Pytago trong khảo sát
Khảo sát là công việc người vẽ bản đồ cần tính toán được khoảng cách và độ cao bằng các con số, giữa những điểm khác nhau trước khi vẽ ra bản đồ. Do địa hình thường không bằng phẳng, nên cách nhà khảo sát cần phải tìm được cách thích hợp đo khoảng cách.
Trong trường hợp này định lý Pytago được sử dụng nhằm tính toán độ dốc sườn đồi hay núi. Nhà khảo sát sẽ nhìn qua kính viễn vọng về phía một thước đo cách đó một khoảng cố định, sao cho đường ngắm của kính và thước đo tạo thành một góc vuông.
Bởi người khảo sát đã biết được cả chiều cao của que đo và khoảng cách nằm ngang của que tính từ kính viễn vọng, do đó anh ta có thể sử dụng định lý Pytago để tìm được độ dài con dốc bao phủ khoảng cách đó. Và từ độ dài này xác định độ dốc.
Những bài tập vận dụng của định lý
Bài tập áp dụng định lý Pytago
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC vuông tại B. Trong đó AC = 10cm, BC = 8cm. Tính độ dài cạnh AB.
Giải:
Áp dụng định lý Pytago chúng ta có: AB2 + BC2 = AC2
=> AB2 = AC2 – BC2 = 102 – 82 = 36
=> AB = 6 (cm).
Bài tập 2:
Cho tam giác ABC có các cạnh lần lượt là AC=5cm, BC = 3cm, AB=4cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Giải:
Ta có: 52 = 32 + 42. Do đó AC2 = BC2 + AB2
Theo định lý Pytago đảo “Trong một tam giác nếu có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó làm tam giác vuông”.
=> Tam giác ABC vuông tại B.
Bài tập 3:
Ta có tam giác ABC vuông tại A.
- Biết chiều dài AB= 4m, BC = 6cm. Tính AC
- Biết AC = 2cm, BC = 7cm. Tính AB
- Biết AB = 3cm, AC = 5cm. Tính BC
Giải:
- Theo định lý Pytago ta có: BC2 = AC2 + AB2
=> AC2 = BC2 – AB2
=> AC2 = 62 – 42
=> AC2 = 20
=> AC = 20 (cm)
- Có BC2 = AC2 + AB2
=> AB2 = BC2 – AC2
=> AB2 = 72 – 22
=> AB2 = 45
=> AB = 45 (cm).
- Có BC2 = AC2 + AB2
=> BC2 = 32 + 52
=> BC2 = 34
=> BC = 34 (cm).
Trên đây là tổng hợp những kiến thức về định lý Pitago và một số bài tập về định lý Pytago. Hy vọng thông qua bài viết trên các bạn đã nắm vững được phần kiến thức này, từ đó áp dụng vào việc học tập nghiên cứu hiệu quả nhất.
Trả lời